Введение в теорию вероятностей: от безусловной к условной вероятности: сила информации

Вероятностное рассуждение — это не статический расчет, а динамический процесс обновления убеждений. В ситуации безусловной мы предполагаем состояние общего неведения, при котором все исходы в пространстве выборки $S$ возможны. Однако, информация является математическим фильтром который отбрасывает исходы, несовместимые с наблюдаемой реальностью.

Когда мы говорим, что событие $F$ произошло, мы переходим от глобального пространства $S$ к ограниченной вселенной $F$. Условная вероятность события $E$ при условии $F$, обозначаемая как $P(E|F)$, просто равна доле нового пространства $F$, где также происходит событие $E$.

Рассказ о доказательствах

Переход от $P(E)$ к $P(E|F)$ лежит в основе оценки на основе доказательств. Если $P(E|F) > P(E)$, то доказательство $F$ поддерживает гипотезу $E$. Если $P(E|F) < P(E)$, то $F$ противоречит $E$.

Уменьшение вариантов выбора блюда

Представьте себе организованное мероприятие с следующими фиксированными вариантами меню:

Блюдо	Варианты
Основное блюдо	Курица, жареное мясо (2)
Крахмал	Макаронные изделия, рис, картофель (3)
Десерт	Мороженое, желе, яблочный пирог, персик (4)

Безусловное пространство: Всего возможно $2 \times 3 \times 4 = 24$ комбинаций блюд. $P(\text{макароны}) = 8/24 = 1/3$.

Условная информация: Мы узнали, что гость — вегетарианец, который определенно выбрал "макароны". Теперь наш выбор второго блюда зафиксирован ($1$ вариант). Знаменатель нашей вселенной сокращается с $24$ до $2 \times 1 \times 4 = 8$. Вот в чём сила информации: она сужает пространство выборки и изменяет знаменатель.

Определение формулы

Для любых двух событий $E$ и $F$, если $P(F) > 0$, условная вероятность определяется как:

$$P(E|F) = \frac{P(EF)}{P(F)}$$

🎯 Основной принцип

Условная вероятность представляет собой пересчет вероятности. Информация снижает неопределенность, устраняя часть пространства выборки, которая не произошла, вынуждая нас пересмотреть оставшиеся события относительно новой, меньшей вселенной $F$.

ВОПРОС 1

3.1. Бросают два честных кубика. Какова условная вероятность того, что хотя бы один выпадет шесть, если известно, что числа на кубиках различны?

$1/3$

$5/18$

$1/6$

$10/36$

ВОПРОС 2

Лабораторный анализ крови имеет эффективность 95% при выявлении определенного заболевания, когда оно действительно присутствует. Однако тест также даёт «ложноположительный» результат для 1% здоровых людей. Если 0,5% населения реально больны, какова вероятность того, что человек болен, если его тест положительный?

0,0455

0,9500

0,0050

0,3233

ВОПРОС 3

В одном деревне традиционно старший сын заботится о своих пожилых родителях. Женщины в этом деревне, стремясь избежать этой долгосрочной обязанности, начали избегать брака со старшими сыновьями. Если женщина встречает мужчину из двоих детей в этом деревне и знает, что он не единственный ребёнок, какова вероятность того, что он старший сын, если у него есть брат?

$1/2$

$1/3$

$2/3$

$1/4$

ВОПРОС 4

Из обычной колоды из 52 карт случайным образом выбирают две карты без возврата. Пусть $B$ — событие, что обе карты — тузы, а $A$ — событие, что хотя бы одна карта — туз. Чему равна $P(B|A)$?

$1/33$

$1/17$

$6/1326$

$1/221$

ВОПРОС 5

Какое из следующих утверждений лучше всего описывает «ошибку прокурора», упомянутую в контексте ДНК-доказательств?

Смешивание $P(\text{доказательство} | \text{невиновен})$ с $P(\text{невиновен} | \text{доказательство})$

Предполагая, что доказательства ДНК всегда точны на 100%

Пренебрегая возможностью лабораторной ошибки

Использование априорной вероятности ноль для обвиняемого

Вызов: Поиск пропавшего самолёта

Последовательная условная вероятность и оптимизация поиска

Самолёт пропал, и предполагается, что он одинаково вероятно мог потеряться в любой из трёх возможных областей ($P(R_i) = 1/3$ для $i=1, 2, 3$). Пусть $1 - \beta_i$ — вероятность найти самолёт при поиске в $i$-й области, если он действительно там. (Таким образом, $\beta_i$ — вероятность неудачного поиска, несмотря на то, что самолёт находится там).

Вопрос 1

Предположим, что проведён поиск в регионе 1, и самолёт не найден. Какова условная вероятность того, что самолёт действительно находится в регионе 1?

Решение:
Пусть $E$ — событие, что поиск в регионе 1 не удался.
По формуле Байеса: $P(R_1|E) = \frac{P(E|R_1)P(R_1)}{P(E|R_1)P(R_1) + P(E|R_2)P(R_2) + P(E|R_3)P(R_3)}$.
Поскольку $P(E|R_1) = \beta_1$ и $P(E|R_2) = P(E|R_3) = 1$ (если он в другом регионе, поиск 1 обязательно не удалится):
$$P(R_1|E) = \frac{\beta_1(1/3)}{\beta_1(1/3) + 1(1/3) + 1(1/3)} = \frac{\beta_1}{\beta_1 + 2}$$

Вопрос 2

Какова условная вероятность того, что самолёт находится в регионе 2 ($i=2$), если поиск в регионе 1 был неудачным?

Решение:
Используя тот же знаменатель из вопроса 1:
$$P(R_2|E) = \frac{P(E|R_2)P(R_2)}{\sum P(E|R_i)P(R_i)} = \frac{1(1/3)}{\frac{1}{3}(\beta_1 + 1 + 1)} = \frac{1}{\beta_1 + 2}$$
Обратите внимание, что поскольку $\beta_1 < 1$, вероятность того, что самолёт находится в регионе 2, увеличилась увеличилась с $1/3$ до большего значения ($1/(\beta_1+2) > 1/3$).